Topological link invariants of magnetic fields

Bei vielen physikalischen Fragestellungen ist es von Interesse, die topologische Komplexität magnetischer Felder, oder allgemeiner von divergenzfreien Feldern, mit Hilfe von Invarianten zu charakterisieren. Eine bekannte topologische Invariante ist die magnetische Helizität, die aber nur ein einfaches Maß für die topologische Komplexität darstellt. Ausgehend von höheren Massey-Produkten präsentiere ich Verschlingungsinvarianten höherer Ordnung in Form von Volumenintegralen, die Kreuzverschlingungen von mehreren Magnetfeldern erkennen können. Diese Invarianten sind topologisch, und damit Erhaltungsgrößen der idealen Magnetohydrodynamik. Desweiteren enthält die Arbeit die erste vollständige Konstruktion der Verschlingungsinvarianten basierend auf höheren Massey Produkten in Form von Volumenintegralen. Die so gefundenen Integralausdrücke zeigen eine höhere Symmetrie als die bekannten Ausdrücke für Massey Produkte und können deshalb auch in der algebraischen Topologie von Bedeutung sein.

In many physical applications one wishes to characterise the topological complexity of magnetic fields, or divergence-free fields in general, by means of invariants. A well-known topological invariant is magnetic helicity, which unfortunately is only a coarse measure of the topological complexity. Starting from the so-called Massey higher products, I present higher order linking integrals which detect cross-linkages among sets of magnetic fields. These integrals are topological invariants, and therefore are conserved quantities of ideal magnetohydrodynamics. In contrast to existing higher order invariants based on Massey products, the new invariants can be computed for magnetic fields that are not restricted to flux tubes. Furthermore, in this work I present the first complete construction of the link invariants computed from Massey higher products in the form of volume integrals. This construction yields very symmetric expressions which can be useful to study Massey higher products.