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Autor:  

Hengelbrock, Harald

Titel:  

Symmetries in Quantum Schubert Calculus


Dissertation 
URN:  urn:nbn:de:hbz:294-7275
URL:  http://www-brs.ub.ruhr-uni-bochum.de/netahtml/HSS/Diss/HengelbrockHarald/diss.pdf
Format:  application/pdf (389.9 k)
Kommentar:  Ruhr-Universität Bochum, Fakultät für Mathematik. Tag der mündlichen Prüfung: 2003-02-21

Inhaltsverzeichnis
Datei:  http://www-brs.ub.ruhr-uni-bochum.de/netahtml/HSS/Diss/HengelbrockHarald/Inhaltsverzeichnis.pdf
Format:  application/pdf (38.9 k)

Zusammenfassung
Datei:  http://www-brs.ub.ruhr-uni-bochum.de/netahtml/HSS/Diss/HengelbrockHarald/Zusammenfassung.pdf
Format:  application/pdf (65.6 k)

Schlagworte:  Quantenkohomologie; Symmetrisches Polynom; Graßmann-Mannigfaltigkeit; Algebraische Kombinatorik; Fahnenmannigfaltigkeit

Inhalt der Arbeit: 

Die Arbeit befasst sich mit dem Quantenkohomologiering von Grassmannschen Varietäten. Ich definiere eine Involution auf dem Quantenkohomologiering, welche mit komplexer Konjugation auf dessen Spektrum zusammenhängt, und eine Art Inversion definiert. Zusammen mit der von Agnihotri und Woodward entdeckten zyklischen Symmetrie des Quantenkohomologierings erzeugen diese Symmetrien den Nullraum der Bilinearform, welche als die Summe von Koeffizienten in der Entwicklung von Produkten bezüglich der Schuberbasis gegeben ist. Ich zeige, dass die Äquivalenzklassen dieser Relation frei erzeugt sind von Schubertklassen, deren Youngdiagramme in einem kleinen Rechteck enthalten sind. Weiterhin beweise ich eine einfache induktive Formel für ein modifiziertes Produkt von Schubertklassen, welches eng mit dem klassischen Cupprodukt von Schubertklassen zusammenhängt. Als Anwendung erhalte ich eine Formel für die Summe von Littlewood-Richardson-Zahlen, welche in der Entwicklung eines Produktes von Schur-Polynome auftreten.
Die Darstellung des Spektrums des Quantenkohomologierings als Werte von elementarsymmetrischen Polynomen auf Tupeln von Einheitswurzeln induziert eine Symmetrie von Punkten und Funktionen auf dem Quantenring, welche eine Identifikation von verschiedenen invarianten Strukturen des Ringes impliziert.
Ausserdem diskutiere ich den kombinatorischen Hintergrund dieser Strukturen und Möglichkeiten einer Verallgemeinerung der Resultate für den Fall von Varietäten vollständiger Fahnen.


Inhalt der Arbeit (übersetzt): 

The quantum cohomology of Grassmannians exhibits two symmetries related to the quantum product, namely a cyclic action and an involution related to complex conjugation. We construct a new ring by dividing out these symmetries in an ideal theoretic way and analyze its structure, which is shown to control the sum of all coefficients appearing in the product of cohomology classes. We derive a combinatorial formula for the sum of all Littlewood-Richardson coefficients appearing in the expansion of a product of two Schur polynomials.


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